数制与编码

• 二进制：(1010001010010)₂ 1010001010010B
• 八进制：(1652)₈ 1652O(这是大写字母O，不是数字0)
• 十进制：(1652)₁₀ 1652D
• 十六进制：(1652)₁₆ 1652H 0x1652

二进制：B Binary 八进制：O Octal 十进制：D Decimal 十六进制：H Hex 学过前端CSS的能知道颜色值的HEX写法就是16进制

相互转换

• 二进制-->八进制：

  • 

  • 1010001010010.11 B = 12122.5 O

  • 将二进制数以小数点分开

  • 整数部分：

    • 从后往前
    • 每3位转成一位8进制数（不用担心会超过8，111才等于7）
    • 如果最前面不足3位就在前面补0

  • 小数部分：

    • 从前往后
    • 每3位转成一位8进制数
    • 如果最后面不足3位就在后面补0

• 二进制-->十六进制：

  • 

  • 1010001010010.11 B = 1452.C H

  • 将二进制数以小数点分开

  • 整数部分：

    • 从后往前
    • 每4位转成一位16进制数（不用担心会超过16，1111才等于15）
    • 如果最前面不足4位就在前面补0

  • 小数部分：

    • 从前往后
    • 每4位转成一位16进制数
    • 如果最后面不足4位就在后面补0

• r进制-->十进制：

  • 用$k_i$$k_i$表示r进制数的第i位数字
  • i是从小数点那里开始往前数，比如1234的4就是$k_0$$k_0$
  • 小数点后面的i是负数，但是是从1开始，比如1234.5的5是$k_{-1}$$k_{-1}$
  • 十进制正数 = $\sum _{i=0}^n{k}_i\times r^i$$\sum_{i=0}^{n} k_i \times r^i$ ，负数同理
  • $11011.1B=1\times 2^0+1\times 2^1+0\times 2^2+1\times 2^3+1\times 2^4+1\times 2^{-1}=27.5$$11011.1 B = 1 \times 2^0 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^3 + 1 \times 2^4 + 1 \times 2^{-1} = 27.5$
  • 也可以使用表格法，第一行写r进制每一位的权值，第二行对应每位数字
  • 上下两行两两相乘最后求和就是所转化的十进制数
  • 可参考下面的二进制转十进制
  • $16\times 1+8\times 1+4\times 0+2\times 1+1\times 1+0.5\times 1=27.5$$16 \times 1 + 8 \times 1 + 4 \times 0 + 2 \times 1 + 1 \times 1 + 0.5 \times 1 = 27.5$

• 十进制转r进制

  • 先从小数点分为整数部分和小数部分

  • 如123.6875 D = 1111011.1011 B

  • 整数部分

    • 每次除以r，余数就写在后边
    • 算到最后把写的余数从下往上一个个写
    • 

  • 小数部分

    • 每次乘以r，如果结果超过1就把整数部分写在后面
    • 算到最后把写下的证书从上往下一个个写
    • 

无符号数和有符号数

• 无符号数

  • 寄存器的位数决定了无符号数的表示范围。如8位寄存器，无符号数的表示范围就是0000000~1111111, 0~255
  • 用无符号数字表示主存地址
  • 8位无符号数的范围: 0~2⁸-1 = 0~255
  • 16位无符号数的范围: 0~2¹⁶-1 = 0~65535

• 有符号数

  • 真值：+5
  • 机器数：05 (0表示正，1表示负)

原反补移码

• 原反补移码的作用

  • 原码更便于人类理解
  • 反码作为计算机运算的中间量
  • 补码更便于计算机运算
  • 移码常用来表示浮点数的阶码,只能表示整数

• 符号位+数值位 = 8位（如果是8位计算机）

• 整数的补码和移码符号位相反，数值位相同

• 写法：

  • 原码：[x]_原 = 1,0010011
  • 反码：[x]_反 = 1,1101100
  • 补码：[x]_补 = 1,1101101
  • 移码：[x]_移 = 0,1101101

有补码的原因： 如果一个数+1，二进制原码是00000001,其负数-1的原码是10000001 正常来说+1 + (-1) = 0 但是两个原码之和等于10000010显然不对 所以可以用原码表示正数但不能表示负数

相关转换

• 对于正数：

  • 原码 = 反码 = 补码

• 对于负数：

  • 原码：数字的二进制，首位0为正数1为负数

  • 反码：原码的二进制数除首位(符号位)以外都按位取反

  • 补码：反码+1

  • 移码：$[x{]}_{\text{移}}=2^n+x(2^n>x\ge -2^n,\text{机}\text{器}\text{字}\text{长}\text{为}n+1)$$[x]_移 = 2^n + x (2^n > x \ge -2^n,机器字长为n+1)$

  • 原码转补码的手算方法：

    • 
    1. 从右往左找第一个1
    2. 把原码在第一个1左边和符号位右边断开
    3. 断开后中间的数字按位取反
    4. 把断开处两端的数和中间取反后的数拼在一起

  • 补码转原码的手算方法：

    • 同原码转补码

  • 补码转反码：

    • 先用补码转原码的方法转成原码
    • 然后数值位都取反获取反码

  • 整数原码转移码：

    • 先用原码转补码获得补码
    • 对补码的符号位取反就可以获得移码 例子：

常用的一些数值：

错题集

1. 

   答案与解析：

   
   答案： C
   解析：
   8位二进制数可以表示2⁸=256种不同的数据，但是原码中0占用了两个数据，所以8位的原码只能表示255个不同的数据
   反码同原码也是255种，但补码和移码可以有256种

2. 

   答案与解析：

   
   答案： A
   解析：
   N位的二进制小数可以表示的数的个数为1+2⁰+2¹+...+2^N-1 = 2^N
   N位的十进制小数可以表示的个数为10^N
   2^N / 10^N = (0.2)^N

3. 

   答案与解析：

   
   答案： C
   解析：
   负数的绝对值最大，所以除了第一位(符号位)剩下63位的真值最大
   但这是补码，所以要找真值最小的，也就是000000...01(62个0)，这样转化出来的原码才能使63个1，也就是1111...11(63个1)，

4. 

   答案与解析：

   
   答案： B
   解析：
   [0]_补=00000
   [0]_移=2⁴+0=10000
   所以B错, 表示不同，但表示形式是唯一的(指补码只有00000表示0,移码只有10000表示0)
   对于A，补码转移码需要符号位取反，表示数字的始终一样，所以表示范围一样(C选项)

5. 

   答案与解析：

   
   答案： C
   解析：
   使用补码表示时，若符号位相同，则数值位越大码值越大
   补码第一位为1，所以原码符号位为1，即为负数(参考原码转补码方法)
   要大于-32，所以x1-x6的部分要小于32(注意这里是补码，需要转成原码小于32)
   答案有x1=0或者1两种，
   先假设x1=0
   如果都是0，原码为1000000 不存在
   如果至少有一个1，原码x1处要被反转为1，所以原码可能为1100000=-32([x]_补=1010000)
   如果x1=1
   如果其他都是0，[x]_补=1100000=1100000_原=-64
   如果至少有一个为1，最小时原码为1010000=-16([x]_补=1110000)
   所以x₁=1,其他至少有一个1

6. 

   答案与解析：

   
   答案： D
   解析：
   x为正数时显然x*=x，但除此之外0*=0，0不是正数
   题目是当且仅当,所以不能选B
   C显然不对，C都不对了A更不可能对，所以选D